高峰官

摘 要： 分類討論思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一.在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視分類討論思想方法的運(yùn)用，有助于促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的優(yōu)化和解題能力的提高.本文主要探討了分類討論思想的內(nèi)涵、原則及其操作步驟，并著重例談了中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中分類討論思想應(yīng)用較多的幾種類型：概念型、性質(zhì)型、參數(shù)型、圖形型、具體問題型等.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思想 分類討論 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用作為課程目標(biāo)之一.正如數(shù)學(xué)家喬治·波利亞所言：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路.”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生思維能力，優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，又是數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個切入點.中學(xué)數(shù)學(xué)涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要有化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比與聯(lián)想、數(shù)學(xué)模型等.

數(shù)學(xué)分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數(shù)學(xué)思想.它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法.分類討論思想，貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中，需要運(yùn)用分類討論的思想解決的數(shù)學(xué)問題.就其引起分類的原因，可歸結(jié)為這樣幾種：①涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；②運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；③數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的取值會導(dǎo)致不同結(jié)果的；④求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能.應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化.分類的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考問題的周密性和條理性，從而增強(qiáng)學(xué)生分析問題、探索規(guī)律的能力.

分類思想不像一般的數(shù)學(xué)知識那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握.它根據(jù)學(xué)生不同的年齡特征，學(xué)生各學(xué)習(xí)階段的認(rèn)知特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷豐富和掌握這一數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵.

一、分類討論的基本原則

1.標(biāo)準(zhǔn)必須統(tǒng)一，否則會導(dǎo)致邏輯混亂；各種分類的集合必須彼此互斥，即各個分類沒有公共部分，否則會造成重復(fù)討論。

2.分類必須是全面而完整的，否則會有所遺漏。

3.對于需要多級討論的，必須逐級進(jìn)行，不能出現(xiàn)越級討論的現(xiàn)象，否則會導(dǎo)致層次不清，乃至錯誤.此外，要在確保正確的基礎(chǔ)之上，盡量減少分類，使問題解決過程簡潔化.

二、分類討論的基本步驟

第一步：明確討論對象，并確定討論對象的范圍.

第二步：確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，科學(xué)、合理進(jìn)行分類.

第三步：對不同的分類逐一進(jìn)行討論.

第四步：對各類討論結(jié)果進(jìn)行歸納，并加以整合，最終得出整個問題的結(jié)論.

三、探究分類討論的幾種題型，增強(qiáng)學(xué)生思維的周密性和條理性

1.概念型分類討論

有些概念本身就是分不同情形加以定義的，教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生在概念的學(xué)習(xí)過程及應(yīng)用過程中領(lǐng)會概念具體的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)一步深化對分類討論思想的理解.例如在講解絕對值的概念時，需要分正實數(shù)、負(fù)實數(shù)和零三種情況分別給予定義.此外，一些數(shù)學(xué)問題的解決要根據(jù)絕對值的定義分情況加以討論.如已知|a|=5，|b|=3，求a■的值；再如整數(shù)分為奇數(shù)與偶數(shù)；三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形等.

2.性質(zhì)型分類討論

數(shù)學(xué)中有一些定理、公式、法則和性質(zhì)等內(nèi)容是分情況給予表述的，或者有其特定的適用范圍，或者有一定的限制條件，因而在教學(xué)過程中，要讓學(xué)生注意領(lǐng)會公式、性質(zhì)的限制條件，能夠在具體應(yīng)用時根據(jù)這些限制條件確定分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論.

如初中數(shù)學(xué)課程中，在探究在證明圓周角定理時，由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部，角的外部三種不同的情況，因此應(yīng)分三種不同情況分別討論證明.先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作圓周角頂點的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部、外部這兩種情況.這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法.再如高中數(shù)學(xué)中，等比數(shù)列的求和公式就分為q=1和q≠1兩種情況；對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性就分為a>1，a<1兩種情況；求一元二次不等式的解分為a>0，a<0，以及△>0，△=0，△<0共六種情況等.

3.參數(shù)型分類討論

參數(shù)廣泛地出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的各種問題之中，參數(shù)的存在會對問題的解決產(chǎn)生種種影響.一個問題中的參數(shù)通?？梢匀讉€不同的數(shù)值，而在不同的取值時，所采用的解決策略和處理方式都不盡相同，因而會產(chǎn)生不同的結(jié)果.這就要求我們必須對參數(shù)取不同值時的各種情況分別加以討論.

例如一次函數(shù)y=kx+b的自變量的取值范圍是-2≤x≤6，相應(yīng)的函數(shù)值的取值范圍是-5≤y≤-3，求這個一次函數(shù)關(guān)系式.需引導(dǎo)學(xué)生對k分兩種情況加以討論.再如函數(shù)y=ax■-ax+3x+1，與x軸只有一個交點，求a的取值.解決此問題時，應(yīng)注意到這個函數(shù)可以是一次函數(shù)，也可以是二次函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生對a討論，培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性.

4.幾何圖形分類討論

數(shù)學(xué)中一些問題由于所涉及的圖形或圖像等元素具有不確定性，比如圖形本身的大小、形狀及圖形間的位置關(guān)系等有多種可能，需要根據(jù)具體的不同情況分別地加以探討，才能使問題得到全面而完整的解決.例如講解圓與圓的位置關(guān)系時，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過探究最終發(fā)現(xiàn)圓與圓的五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切和內(nèi)含.再如講解空間直線位置關(guān)系時，使學(xué)生經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)空間直線有相交、平行、異面三種位置關(guān)系等.

例如線段OA的一端點OD在直線a上（線段OA與直線a不垂直），以O(shè)A為一邊畫等腰三角形，并且另一頂點也在直線a上，請畫出所有這樣的三角形.引導(dǎo)學(xué)生協(xié)動手、探究、交流，得出這樣的三角形有四種情形.

再如如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的長為方程x2-14x+a=0的兩根，且AC-BC=2，D為AB的中點.（1）求a的值.（2）動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度，沿A→D→C的路線向點C運(yùn)動；動點Q從點B出發(fā)，以每秒3個單位的速度，沿B→C的路線向點C運(yùn)動，且點Q每運(yùn)動1秒，就停止2秒，然后再運(yùn)動1秒……若點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)其中有一點到達(dá)終點時整個運(yùn)動隨之結(jié)束.設(shè)運(yùn)動時間為t秒.①在整個運(yùn)動過程中，設(shè)△PCQ的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；并指出自變量t的取值范圍；②是否存在這樣的t，使得△PCQ為直角三角形？若存在，請求出符合條件的t的值；若不存在，請說明理由.

5.具體問題型分類討論

數(shù)學(xué)與生活緊密聯(lián)系，在解決現(xiàn)實生活中的實際應(yīng)用問題時，可能會遇到多種情形，需要我們根據(jù)具體情況作出具體分析，對各種情形分別進(jìn)行討論.

例如某世博會紀(jì)念品的原售價為80元/個，今有甲、乙兩家店銷售這種紀(jì)念品，甲店用如下方法促銷：如果只購買一個紀(jì)念品，其價格為78元/個；如果一次購買兩個紀(jì)念品，其價格為76元/個；……一次購買的紀(jì)念品數(shù)每增加一個，那么紀(jì)念品的價格減少2元/個，但紀(jì)念品的售價不得低于44元/個；乙店一律按原價的75%銷售.現(xiàn)某團(tuán)隊要購買這種紀(jì)念品x個，如果全部在甲店購買，則所需金額為y■元；如果全部在乙店購買，則所需金額為y■元.（1）求y■、y■與x之間函數(shù)關(guān)系式；（2）該團(tuán)隊去哪家店購買紀(jì)念品花費(fèi)較少？

可見，分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯方法，同時是一種重要的解題策略，體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.它能揭示數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識，使所學(xué)知識條理化，從而有助于完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有意識地運(yùn)用分類討論思想解決一些數(shù)學(xué)問題，有助于訓(xùn)練學(xué)生思維的條理性和概括性，這對優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有裨益.