馮麗

[摘 要] 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題是一個(gè)重要內(nèi)容. 在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，實(shí)際問(wèn)題的解決往往只強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用，而忽視了實(shí)際問(wèn)題解決所需要的數(shù)學(xué)模型的建立. 事實(shí)表明，數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程就是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，此過(guò)程中學(xué)生的思維參與起著至關(guān)重要的作用. 關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的思維，可以有效地掌握學(xué)生的思維過(guò)程與特點(diǎn)，也可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力. 初中數(shù)學(xué)教師必須對(duì)此高度重視！

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；實(shí)際問(wèn)題；問(wèn)題解決；數(shù)學(xué)抽象；思維

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常常需要學(xué)生去解決一些實(shí)際問(wèn)題，而學(xué)生在這些實(shí)際問(wèn)題解決的過(guò)程中，也常常會(huì)暴露一些思維上的不足，這會(huì)讓教師認(rèn)為學(xué)生的思維能力不強(qiáng)；而教師這樣的認(rèn)識(shí)又會(huì)讓學(xué)生認(rèn)為自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)，因此稍不注意，實(shí)際問(wèn)題的解決教學(xué)中，學(xué)生就有可能進(jìn)入一個(gè)惡性循環(huán).

如果教師建立另一個(gè)教學(xué)視角，即將數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決當(dāng)成一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的機(jī)會(huì)，那結(jié)果便有可能不同，即使當(dāng)教師看到學(xué)生的問(wèn)題解決過(guò)程中有困難時(shí)，也會(huì)當(dāng)成一個(gè)教學(xué)的契機(jī). 而要實(shí)現(xiàn)這樣的思維轉(zhuǎn)換，教師就必須洞悉學(xué)生在問(wèn)題解決中的思維過(guò)程，知道學(xué)生的思維有哪些優(yōu)點(diǎn)，存在哪些不足等. 本文試以“解直角三角形”中的問(wèn)題解決為例，淺談筆者對(duì)此問(wèn)題的理解.

經(jīng)驗(yàn)視角下的數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題解決

要實(shí)現(xiàn)知識(shí)運(yùn)用角度下的教學(xué)向思維發(fā)展角度下的教學(xué)轉(zhuǎn)向，就必須弄清楚傳統(tǒng)問(wèn)題的解決在教學(xué)中到底發(fā)生了什么. 在解直角三角形的教學(xué)中，常常遇到這樣的一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，即“梯子安全問(wèn)題”. 比如這樣的一道題目：某梯子與地面所成的角α滿足45°≤α≤60°時(shí)，人可以安全地爬上斜靠在墻面上的梯子的頂端，現(xiàn)有一架6米長(zhǎng)的梯子，用其最高可以爬上多高的墻？又比如說(shuō)：假如用這樣的梯子爬墻時(shí)，梯子腳距離墻角的距離為2.4米，那此時(shí)人能否安全地使用這一梯子？（這兩個(gè)問(wèn)題中，長(zhǎng)度精確到小數(shù)點(diǎn)后一位，角度精確到1度）

爬梯子在學(xué)生的思維中具有比較清晰的圖像，學(xué)生容易構(gòu)建出爬梯子的情形；而當(dāng)涉及問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可能不知道影響安全的因素是什么，這個(gè)時(shí)候就需要教師做一點(diǎn)引導(dǎo). 傳統(tǒng)教學(xué)中則可能容易忽視這一點(diǎn)，教師往往只顧強(qiáng)調(diào)問(wèn)題解決的順序，而忽視了數(shù)學(xué)模型的建立. 如教師只強(qiáng)調(diào)要在三角形中解決問(wèn)題，強(qiáng)調(diào)將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)“搬”到三角形中去，然后引導(dǎo)學(xué)生去回顧學(xué)過(guò)的直角三角形的知識(shí)，并將相關(guān)數(shù)據(jù)“代”到相關(guān)公式中去. 在這里，之所以將“搬”與“代”強(qiáng)調(diào)出來(lái)，確實(shí)是針對(duì)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)的，將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)“搬”到數(shù)學(xué)圖形中，是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)最擅長(zhǎng)的，“代”公式、“代”數(shù)據(jù)則幾乎是所有學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的固有認(rèn)識(shí). 筆者以為，即使學(xué)生“習(xí)慣”了這樣的教學(xué)，也不意味著他們就認(rèn)可這樣的教學(xué)，因?yàn)閷W(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，思維過(guò)程是生硬的，學(xué)生只能獲得對(duì)解題步驟的強(qiáng)化認(rèn)識(shí)，而不能獲得真正的能力上的提高.

幾乎可以肯定地講，傳統(tǒng)問(wèn)題解決教學(xué)中，師生都處于一種緊張的狀態(tài)當(dāng)中，教師急于引導(dǎo)學(xué)生去解決實(shí)際問(wèn)題，而學(xué)生則急于早點(diǎn)獲得解決問(wèn)題的技能甚至是技巧. 當(dāng)師生均忽視了思維的需求而去嘗試形成問(wèn)題解決的技能時(shí)，問(wèn)題解決的教學(xué)尤其是實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)，是容易走入困境的. 事實(shí)上，實(shí)際問(wèn)題的解決首先面對(duì)的就是數(shù)學(xué)抽象的問(wèn)題，只有通過(guò)數(shù)學(xué)抽象，實(shí)際問(wèn)題才能有效地轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問(wèn)題，因此實(shí)際問(wèn)題解決的教學(xué)關(guān)鍵在于在數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，而此過(guò)程中學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，關(guān)鍵又在于教師對(duì)學(xué)生此過(guò)程中思維的把握.

實(shí)際問(wèn)題分析過(guò)程中的思維解析

那么，在實(shí)際問(wèn)題解決的過(guò)程中，學(xué)生的思維又是什么樣的呢？其會(huì)經(jīng)歷什么樣的思維過(guò)程？又有哪些思維能力培養(yǎng)的契機(jī)呢？筆者對(duì)此進(jìn)行了持續(xù)的探究，其中“梯子安全”問(wèn)題堪稱(chēng)探究過(guò)程中最具代表性的教學(xué)案例.

此問(wèn)題解決的過(guò)程中可以認(rèn)識(shí)到：“梯子安全”是實(shí)際問(wèn)題，而“解直角三角形”是數(shù)學(xué)問(wèn)題，前者需要通過(guò)數(shù)學(xué)抽象才能變成后者. 在上面所舉的兩個(gè)簡(jiǎn)單的梯子安全問(wèn)題中，筆者跟學(xué)生進(jìn)行了這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程：

首先，讓學(xué)生在問(wèn)題情境中構(gòu)建最初的圖像. 上文已經(jīng)提到，初中學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和題意，是可以構(gòu)建出最為基本的爬梯子的情形的，但學(xué)生往往不會(huì)認(rèn)識(shí)到影響安全的因素，因此難以突破數(shù)學(xué)模型建立過(guò)程中最為關(guān)鍵的部分，而這恰恰是數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵所在. 筆者的辦法是讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖的方法，然后結(jié)合自己所作之圖進(jìn)行自我想象，即將自己想象成爬梯子的人，然后去思考哪些因素可能會(huì)影響自己的安全. 這個(gè)時(shí)候，只要控制好學(xué)生不胡思亂想，即盡量思考數(shù)學(xué)因素，就可以有效地讓學(xué)生構(gòu)建出梯子安全的基本圖像：梯子和墻組成一個(gè)直角三角形，已經(jīng)知道直角三角形的斜邊的長(zhǎng)度，知道底面一個(gè)銳角的角度變化范圍，求其所對(duì)的直角邊的最大值.

其次，再引導(dǎo)學(xué)生思考，題目所給出的底面銳角的范圍是隨便給的，還是有著客觀因素的影響？這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)，卻關(guān)系到學(xué)生頭腦中所構(gòu)建出來(lái)的數(shù)學(xué)模型是否完整，也就是關(guān)系到學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象過(guò)程中，能否更有把握地面對(duì)自己所構(gòu)建出來(lái)的數(shù)學(xué)模型，這也是傳統(tǒng)問(wèn)題解決教學(xué)中所容易忽視的. 筆者在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)，告訴學(xué)生梯子的安全性取決于梯子與地面的夾角（當(dāng)然還有物理方面的摩擦等因素，此處不考慮）. 這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是連接實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題的節(jié)點(diǎn)，正是在這個(gè)問(wèn)題的討論中，實(shí)際問(wèn)題會(huì)有效地被抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題. 事實(shí)上，筆者曾經(jīng)作過(guò)嘗試，在真實(shí)不告知角度范圍的情況下讓學(xué)生去思考梯子安全問(wèn)題，學(xué)生也會(huì)朦朧地意識(shí)到這個(gè)角度可能的影響，但往往是不夠確定. 而在教師給出清晰的解答之后，學(xué)生的這一印象即可得到加強(qiáng)，事實(shí)上，此時(shí)學(xué)生所抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型就更加成熟了.

再次，完善數(shù)學(xué)抽象之后的數(shù)學(xué)模型. 基于以上的分析，可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考梯子的安全問(wèn)題，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這一問(wèn)題實(shí)際上就是該直角三角形模型中的角的范圍問(wèn)題. 如果給出了角度的范圍，那么可以求出能夠爬的最大高度；如果給出了高度范圍，那么可以求出梯子安全的角度范圍；如果給出了墻角與梯子腳的長(zhǎng)度距離范圍，那么同樣可以求出最大高度與角度范圍. 通過(guò)這樣的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，學(xué)生就會(huì)認(rèn)識(shí)到梯子安全這一實(shí)際問(wèn)題背后的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，其實(shí)就是直角三角形中的邊角關(guān)系，只不過(guò)是多了一個(gè)范圍而已.

以上三個(gè)步驟完全緊扣學(xué)生的思維，同時(shí)又順利地完成了數(shù)學(xué)抽象，筆者以為這樣的過(guò)程更適合初中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，更符合學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，因而也就更加能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

基于思維分析的問(wèn)題解決與教學(xué)

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題及其解決是每一個(gè)重要的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)都會(huì)遇到的問(wèn)題，同時(shí)由于課程改革，當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)的評(píng)價(jià)方式與理念也有所變化，實(shí)際問(wèn)題的分析與解決日益成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn). 在這種情況下，如果還堅(jiān)持傳統(tǒng)的“解題”思路，那這些問(wèn)題的解決就無(wú)法真正回到“問(wèn)題解決”的思路上來(lái).

有研究者指出，問(wèn)題解決在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中既是一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，也是一種思維過(guò)程. 問(wèn)題解決的核心是學(xué)生的思維，而數(shù)學(xué)被喻為最美的思維花朵，其應(yīng)當(dāng)在實(shí)際問(wèn)題解決的教學(xué)中有效地發(fā)揮培養(yǎng)學(xué)生思維能力的作用. 在上面所舉的梯子是否安全的實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中，仔細(xì)梳理可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維可以在諸多環(huán)節(jié)得到培養(yǎng). 比如說(shuō)在起初的模型構(gòu)思環(huán)節(jié)，學(xué)生可以通過(guò)空間想象能力的參與，完成數(shù)學(xué)抽象所需要的最初的心理活動(dòng)；比如說(shuō)在數(shù)學(xué)建模的環(huán)節(jié)，學(xué)生要想順利地構(gòu)建出直角三角形，尤其是動(dòng)態(tài)的直角三角形——因?yàn)樯婕耙粋€(gè)銳角的變化范圍，學(xué)生既需要空間想象能力，更需要數(shù)學(xué)抽象能力的參與. 此時(shí)，數(shù)學(xué)抽象就成為一個(gè)剔除無(wú)關(guān)元素，尋找有關(guān)元素的過(guò)程；又比如說(shuō)學(xué)生在運(yùn)用直角三角形模型解決梯子安全問(wèn)題的時(shí)候，還會(huì)重現(xiàn)直角三角形的相關(guān)知識(shí)，建立起直角三角形中邊角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是學(xué)用能力結(jié)合的過(guò)程.

總之，在學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生的思維始終處于活躍的狀態(tài)，而這一過(guò)程就是思維能力得到培養(yǎng)的最佳過(guò)程.

從實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)抽象在其中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，而數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程又是學(xué)生思維參與的過(guò)程，學(xué)生的思維能力在其中既可以得到應(yīng)用，又可以得到培養(yǎng). 至于其后的數(shù)學(xué)變式，則是考查學(xué)生的知識(shí)遷移能力，本文暫不作討論.