蔡麗明

[摘? 要] 數(shù)學(xué)建模是連接數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的橋梁，也是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和啟發(fā)學(xué)生思想的重要途徑. 在初中數(shù)學(xué)助學(xué)案課堂教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)思維情境，幫助學(xué)生轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)模型，總結(jié)模型特點(diǎn)，細(xì)化模型，并在此基礎(chǔ)上設(shè)置多層次問(wèn)題強(qiáng)化模型. 數(shù)學(xué)建模對(duì)加強(qiáng)學(xué)生建模思維、提高學(xué)生數(shù)學(xué)模型的核心素養(yǎng)具有重要意義.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;初中數(shù)學(xué);助學(xué)案課堂;思維情境;數(shù)學(xué)抽象

作為數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一，數(shù)學(xué)建模的核心地位非常突出，因?yàn)閿?shù)學(xué)建模的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)原理和教學(xué)方法側(cè)重于創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)，其能讓學(xué)生真正學(xué)習(xí)到立足實(shí)際的“有用的數(shù)學(xué)”，并了解數(shù)學(xué)是人類文化不可或缺的一部分，是人類與現(xiàn)實(shí)世界溝通的重要方式.

初中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)一般是先提出問(wèn)題，然后通過(guò)邊探究邊質(zhì)疑、合作與交流等一系列活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維. 因此，我們應(yīng)該對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行改進(jìn)，以此提升數(shù)學(xué)建模教學(xué)的有效性. 本文著眼于中考中必考的三角形知識(shí)，談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)如何對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析.

培養(yǎng)初中數(shù)學(xué)“建模素養(yǎng)”的策略

1. 樹(shù)立數(shù)學(xué)建模的意識(shí)

提高對(duì)建模的認(rèn)識(shí)是培養(yǎng)建模技能的先決條件. 通常，如果在實(shí)際問(wèn)題中存在可量化的指標(biāo)，則基本上可以將它們概括為各種數(shù)學(xué)變量，并運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析，發(fā)現(xiàn)它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再利用該模型進(jìn)行分析從而解決問(wèn)題，并將結(jié)果與實(shí)際測(cè)試進(jìn)行比較，如果符合實(shí)際情況，則得出相應(yīng)結(jié)論，如果與實(shí)際情況不符，則需要重新分析并建立一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型. 上述將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程如圖1所示.

2. 創(chuàng)設(shè)思維情境，“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)模型

為了更好更快地激發(fā)學(xué)生對(duì)建立數(shù)學(xué)模型的興趣，教師必須結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生生活中的熟悉事例，創(chuàng)造各種包含問(wèn)題的思維環(huán)境，使用實(shí)驗(yàn)、猜想、模仿、觀察和其他收集數(shù)據(jù)的方法，并鼓勵(lì)學(xué)生仔細(xì)閱讀、獨(dú)立思考、勤于討論，促使學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)探究而不是一味地被動(dòng)學(xué)習(xí)，且不斷轉(zhuǎn)化并完善數(shù)學(xué)模型.

例如，在課堂開(kāi)始時(shí)組織對(duì)“直角三角形邊角關(guān)系”的研究，本文創(chuàng)建了如下的實(shí)際問(wèn)題情境：

如圖2所示，在大型超市中安裝了一部電梯. 已知天花板與地面平行，電梯與地面之間的角度為27°，試問(wèn)：如果身高為2.26 m的著名籃球運(yùn)動(dòng)員姚明乘坐這部電梯，他是否有碰頭的情況出現(xiàn)？

上述提出的問(wèn)題思維情境，結(jié)合了知名人物，可以很好地激發(fā)學(xué)生的探索欲望，他們開(kāi)始身臨其境，想象自己的個(gè)人經(jīng)歷，并結(jié)合實(shí)際環(huán)境抽象出數(shù)學(xué)模型，如圖3所示. 然后，結(jié)合他們所學(xué)的知識(shí)——直角三角形邊角關(guān)系進(jìn)行深入探究.

3. 分析歸納模型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，“細(xì)化”數(shù)學(xué)模型

為了培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，從知識(shí)到技能不斷提高，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生不斷總結(jié)已建立模型的結(jié)構(gòu)特征，反思解決問(wèn)題的方法和過(guò)程. 要求他們以小組的形式自己動(dòng)手測(cè)量數(shù)據(jù)，并獨(dú)立擺列模型、制作模型，經(jīng)歷模型“再創(chuàng)造”的過(guò)程，從而達(dá)到解答一題，學(xué)會(huì)一類型題的目標(biāo).

在組織學(xué)生學(xué)習(xí)“測(cè)量物體的高度”這一類知識(shí)的過(guò)程中，筆者提供了相關(guān)的素材資料，要求學(xué)生基于所學(xué)過(guò)的知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

如圖4所示，已知一人在點(diǎn)C處看向塔頂A的視線與地面所成夾角為27°，緊接著他繼續(xù)前進(jìn)了80 m，此時(shí)他在D點(diǎn)看向塔頂A的視線與地面所呈夾角為45°，問(wèn)：這座塔有多高？

學(xué)生在解答這道題時(shí)首先需要充分理解題意，然后可以忽略塔的形狀、式樣等次要因素，這樣便可將具體問(wèn)題抽象成等價(jià)的幾何圖形模型，如圖5所示. 接著運(yùn)用所學(xué)的有關(guān)三角形的知識(shí)，通過(guò)列方程求解塔的高度. 對(duì)于此題，要求學(xué)生對(duì)以下幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)行思考：

（1）如何在此題中完成實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化？

（2）對(duì)于這道題，我們應(yīng)該從哪個(gè)點(diǎn)入手考慮解題思路？我們應(yīng)該如何處理三角形問(wèn)題？

（3）就任意的兩個(gè)三角形而言，除了背靠背型和疊合型，還存在哪些任意兩個(gè)三角形的組合？

教師基于上述問(wèn)題加以引導(dǎo)，可得出如圖6所示的變式模型. 通過(guò)對(duì)模型的反思與總結(jié)得出如下結(jié)論：通過(guò)添加輔助線的方式可以將一個(gè)斜三角形轉(zhuǎn)換為兩個(gè)直角三角形，然后利用直角三角形邊角之間的關(guān)系解決問(wèn)題.

4. 設(shè)置多層次問(wèn)題，“強(qiáng)化”數(shù)學(xué)模型

在課堂的知識(shí)鞏固環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法等方面幫助學(xué)生對(duì)課堂所學(xué)進(jìn)行反思與總結(jié). 因?yàn)橹挥邢到y(tǒng)化、條理化的知識(shí)，才能被高效地儲(chǔ)存與利用，才能使學(xué)生從不同的層次、不同的角度來(lái)強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型.

例如，如圖7所示，有一座大山阻擋在A、C兩點(diǎn)之間，因此從A點(diǎn)到C點(diǎn)無(wú)法直接到達(dá)，需要繞行B點(diǎn). 已知AB=520 km，∠OBC=30°，∠BAE=67°，現(xiàn)政府需要在A點(diǎn)與C點(diǎn)兩處之間打通一條隧道，問(wèn)隧道有多長(zhǎng)？

教師可在學(xué)生獨(dú)立解決該題之后以“解答本題的收獲”為主題，組織學(xué)生積極參與討論，幫助學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律. 無(wú)論問(wèn)題怎么設(shè)置背景、改變條件，我們總能找到一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)表述實(shí)際問(wèn)題，然后通過(guò)所學(xué)知識(shí)對(duì)模型進(jìn)行演繹推理. 同時(shí)，本文所呈現(xiàn)的是中考必考的題型與知識(shí)點(diǎn)，一定程度上拉近了學(xué)生與中考的距離，激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)幫助學(xué)生更好地歸納、掌握幾何類數(shù)學(xué)建模的相關(guān)思想和知識(shí)，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本意義有了真正的理解.

數(shù)學(xué)建模教學(xué)的幾點(diǎn)建議

1. 重視數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程

數(shù)學(xué)建模教學(xué)都需要讓學(xué)生參與到原始的模型抽象中來(lái)，讓他們可以獨(dú)立地通過(guò)簡(jiǎn)化以后的數(shù)學(xué)模型來(lái)表達(dá)原始問(wèn)題. 在對(duì)模型進(jìn)行解讀的過(guò)程中，教師也要尊重學(xué)生已經(jīng)具備的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)要解釋并糾正他們認(rèn)知中的不合理之處，這樣不僅可以完善學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，也可以糾正并重整學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn).

2. 重視代數(shù)模型與幾何模型相結(jié)合

對(duì)于代數(shù)模型的教學(xué)，教師可以側(cè)重于對(duì)同一模型設(shè)置不同的思維情境，然后對(duì)模型加以訓(xùn)練;對(duì)于幾何模型的教學(xué)，則可以將重點(diǎn)放在對(duì)同一問(wèn)題的不同數(shù)學(xué)抽象上. 在解決問(wèn)題的時(shí)候我們常常不只用到一類模型，因此，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想，更多地要將兩類模型結(jié)合起來(lái)，從而更順利地解決問(wèn)題.

3. 重視學(xué)生自主的建模與評(píng)價(jià)

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的形成是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，需要由外而內(nèi)的培養(yǎng). 通過(guò)課堂教學(xué)，學(xué)生可以習(xí)得數(shù)學(xué)建模的基本經(jīng)驗(yàn)，但還需要他們?cè)谡n余時(shí)間合理運(yùn)用自己的經(jīng)驗(yàn)對(duì)生活中的實(shí)際問(wèn)題有意識(shí)地進(jìn)行建模，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題的習(xí)慣，長(zhǎng)此以往，學(xué)生便能真正意義上提升數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

結(jié)束語(yǔ)

教師不僅要在課堂中傳授學(xué)生知識(shí)、解答學(xué)生的困惑，更要在學(xué)生成長(zhǎng)過(guò)程中做好一個(gè)耐心的指導(dǎo)者、負(fù)責(zé)的引路者. 在學(xué)生需要我們的每個(gè)階段，我們都會(huì)竭盡所能來(lái)幫助他們，對(duì)于想在學(xué)業(yè)上取得成就的學(xué)生，我們首先要培養(yǎng)其思維能力. 本文關(guān)于三角形相關(guān)知識(shí)的探究，將數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)一步滲透到助學(xué)案課堂中，有效幫助學(xué)生構(gòu)建起了數(shù)學(xué)建模思維，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力并進(jìn)行進(jìn)一步拓展，使思維之花在助學(xué)案課堂中綻放得更加燦爛、絢麗.